Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，顶点D，C分别在射线AM，BN上运动（点D不与A重合，点C不与B重合），E是AB边上的动点（点E不与A，B重合），在运动过程中始终保持DE⊥CE．
（1）求证：△ADE∽△BEC；
（2）当点E为AB边的中点时（如图2），求证：DE，CE分别平分∠ADC，∠BCD；
（3）若AD+DE=AB=a，设AE=m，请探究：△BEC的周长是否与m的值有关？若有关请用含m的代数式表示△BEC的周长；若无关请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由直角梯形ABCD中∠A为直角，得到三角形ADE为直角三角形，可得出两锐角互余，再由DE与EC垂直，利用垂直的定义得到∠DEC为直角，利用平角的定义推出一对角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得证；
（2）过E作EF平行于BC，由AD也与BC平行，利用与平行线中的一条直线平行，与另一条也平行，得到EF平行于AD，由E为AB的中点，利用平行线等分线段定理得到F为DC的中点，在直角三角形DEC中，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得出EF=DF=CF，由EF=DF，利用等边对等角得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，根据AD与EF平行得到一对内错角相等，等量代换可得出∠ADE=∠FDE，即DE平分∠ADC；同理可得CE平分∠BCD；
（3）△BEC的周长与m的值无关，理由为：设AD=x，由AD+DE=a，表示出DE，再由AE=m，在直角三角形ADE中，利用勾股定理列出关系式，整理后记作①，由AB-AE=EB，表示出BE，根据（1）得到：△ADE∽△BEC，由相似得比例，将各自表示出的式子代入，表示出BC与EC，由EB+EC+BC表示出三角形EBC的周长，提取a-m后，通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用平方差公式化简后，记作②，将①代入②，约分后得到一个不含m的式子，即周长与m无关．

解答：解：（1）证明：∵直角梯形ABCD中，∠A=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，
又∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠ADE=∠BEC，又∠A=∠B=90°，
∴△ADE∽△BEC；

（2）证明：过点E作EF∥BC交CD于F，如图2所示：
又AD∥BC，
∴EF∥AD，又E为AB的中点，
∴F是CD的中点，
在Rt△DEC中，EF是斜边上的中线，
∴EF=CF=DF=

1

2

CD，
∴∠FED=∠FDE，
∵EF∥AD，
∴∠ADE=∠FED，
∴∠FDE=∠ADE，即DE平分∠ADC，
同理可得：CE平分∠BCD；

（3）△BEC的周长与m的值无关，理由为：
设AD=x，由AD+DE=AB=a，得：DE=a-x，又AE=m，
在Rt△AED中，根据勾股定理得：AD²+AE²=DE²，即x²+m²=（a-x）²，
整理得：a²-m²=2ax，…①
在△EBC中，由AE=m，AB=a，得：BE=AB-AE=a-m，
∵由（1）知△ADE∽△BEC，
∴

AD

BE

=

AE

BC

=

DE

EC

，即

x

a-m

=

m

BC

=

a-x

EC

，
解得：BC=

m(a-m)

x

，EC=

(a-m)(a-x)

x

，
∴△BEC的周长=BE+BC+EC=（a-m）+

m(a-m)

x

+

(a-m)(a-x)

x

=（a-m）（1+

m

x

+

a-x

x

）=（a-m）•

x+m+a-x

x

=

(a-m)(a+m)

x

=

a2-m2

x

，…②
把①代入②得：△BEC的周长=BE+BC+EC=

2ax

x

=2a，
则△BEC的周长与m无关．

点评：此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，平行线的判定与性质，分式的化简求值，利用了转化及整体代入的数学思想，做第三问时注意利用已证的结论．