Question

7．如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA=GE．
（1）判断AG与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若BA=8，∠B=37°，求直径BC的长（结果精确到0.01）．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出∠BAO+∠GAE=90°，进而得出答案；
（2）利用锐角三角函数关系得出BC=$\frac{8}{cos37°}$即可得出答案．

解答 解：（1）AG与⊙O相切，
证明：如图 连接OA，
∵OA=OB，GA=GE，
∴∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE．
∵EF⊥BC，
∴∠BFE=90°．
∴∠ABO+∠BEF=90°．
又∵∠BEF=∠GEA，
∴∠GAE=∠BEF．
∴∠BAO+∠GAE=90°．
∴OA⊥AG，即AG与⊙O相切．

（2）∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
在Rt△BAC中，∠BAC=90°．
∵BA=8，∠B=37°，
∴BC=$\frac{8}{cos37°}$≈10.02．

点评 此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系，正确应用切线的性质是解题关键．