Question

1．如图1，在平面直角坐系中，点A（0，2）、B（-1，0）、C（0，-4），点P是x轴上的一点，AB•AQ=AC•AP，且∠BAC=∠PAQ．
（1）求证：△ABP∽△ACQ；
（2）求直线CQ的函数表达式；
（3）若点P的横坐标t，
①当t=4时，求点Q的坐标；
②用含t的代数式表示点Q的坐标（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）先判断出∠BAP=CAQ，即可得到△ABP∽△ACQ；
（2）先求出tan∠ABP=$\frac{OA}{OB}$=2，再求出tan∠OCM=$\frac{OM}{OC}=\frac{OM}{4}$，建立方程即可求出直线CQ和x轴的交点；
（3）设出Q坐标表示出CQ，借助（1），$\frac{AB}{AC}=\frac{BP}{CQ}$，代值求出m．①把t=4代入即可；②结论直接出来．

解答 解：（1）∵∠BAC=∠PAQ，
∴∠BAP=CAQ，
∵AB•AQ=AC•AP，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AP}{AQ}$，
∴△ABP∽△ACQ；
（2）∵A（0，2）、B（-1，0）、C（0，-4），
∴OA=2，OB=1，OC=4，
在Rt△AOB中，tan∠ABP=$\frac{OA}{OB}$=2，
在Rt△COM中，tan∠OCM=$\frac{OM}{OC}=\frac{OM}{4}$，
由（1）知，△ABP∽△ACQ；
∴∠ABP=∠OCM，
∴$\frac{OM}{4}$=2，
∴OM=8，
∴M（8，0），
设直线CQ解析式为y=kx-4，
∴8k-4=0，
∴k=$\frac{1}{2}$，
∴直线CQ解析式为y=$\frac{1}{2}$x-4，
（3）∵A（0，2）、B（-1，0），C（0，-4），
∴AB=$\sqrt{5}$，AC=6，
∵点P的横坐标t，
∴BP=t+1
设Q（m，$\frac{1}{2}$m-4），
∴CQ=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{1}{2}m-4+4）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$m，
由（1）知，△ABP∽△ACQ，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BP}{CQ}$，
∴$\frac{\sqrt{5}}{6}=\frac{t+1}{\frac{\sqrt{5}}{2}m}$，
∴m=$\frac{12}{5}t+\frac{12}{5}$，
∴$\frac{1}{2}$m-4=$\frac{6}{5}t-\frac{14}{5}$，
∴$Q（\frac{12}{5}t+\frac{12}{5}，\frac{6}{5}t-\frac{14}{5}）$
①当m=4时，m=$\frac{12}{5}t+\frac{12}{5}$=12，$\frac{1}{2}$m-4=$\frac{6}{5}t-\frac{14}{5}$=2，
∴Q（12，2），
②$Q（\frac{12}{5}t+\frac{12}{5}，\frac{6}{5}t-\frac{14}{5}）$．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，待定系数法，解本题的关键是求出直线CQ解析式．