Question

8．定义：若一次函数y=ax+b与反比例函数y=-$\frac{c}{x}$满足$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$，则称y=ax²+bx+c为一次函数和反比例函数的“等比”函数．
（1）试判断（需写出判断过程）一次函数y=x+b与反比例函数y=-$\frac{9}{x}$是否存在“等比”函数？若存在，请写出它们的“等比”函数的解析式；
（2）若一次函数y=9x+b（b＜0）与反比例函数y=-$\frac{c}{x}$存在“等比”函数，且“等比”函数的图象与y=-$\frac{c}{x}$的图象的交点的横坐标为x=-$\frac{1}{3}$，求反比例函数的解析式；
（3）若一次函数y=ax+b与反比例函数y=-$\frac{c}{x}$（其中a＞0，c＞0，a=3b）存在“等比”函数，且y=ax+b的图象与“等比”函数图象有两个交点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），试判断“等比”函数图象上是否存在一点P（x，y）（其中x₁＜x＜x₂），使得△ABP的面积最大？若存在，请用c表示△ABP面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）假设存在，根据等比函数定义得出b²=9，继而可得b的值，从而得出解析式；
（2）根据等比函数定义及b＜0得出b²=9c，即b=-3 $\sqrt{c}$，根据“等比”函数的图象与y=-$\frac{c}{x}$的图象的交点的横坐标为x=-$\frac{1}{3}$，列出方程即可解决问题．
（3）存在，由题意b²=ac，且a=3b，推出b²=3bc，因为a＞0，c＞0，所以b=3c，a=9c，则一次函数解析式为y=9cx+3c，“等比”函数解析式为y=9cx²+3cx+c，即9x²-6x-2=0，可得x₁+x₂=$\frac{2}{3}$，x₁x₂=-$\frac{2}{9}$，|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{2}{3}）^{2}-4×（-\frac{2}{9}）}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，再构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）存在，
假设一次函数y=x+b与反比例函数y=-$\frac{9}{x}$存在“等比”函数，则b²=9，
解得：b=3或-3，
∴存在“等比”函数，其解析式为y=x²+3x+9或y=x²-3x+9；

（2）根据题意知，b²=9c，
∴b=±3 $\sqrt{c}$，
∵b＜0，
∴b=-3 $\sqrt{c}$，
则“等比”函数的解析式为y=9x²-3 $\sqrt{c}$x+c，
根据题意，x=-$\frac{1}{3}$时，9x²-3 $\sqrt{c}$x+c=-$\frac{c}{x}$，
∴1+$\sqrt{c}$+c=3c，即（ $\sqrt{c}$-1）（2 $\sqrt{c}$+1）=0，
解得：$\sqrt{c}$=1，
∴c=1，
故反比例函数的解析式为y=-$\frac{1}{x}$；

（3）存在，
∵b²=ac，且a=3b，
∴b²=3bc，
∵a＞0，c＞0，
∴b=3c，a=9c，
则一次函数解析式为y=9cx+3c，“等比”函数解析式为y=9cx²+3cx+c，
由9cx²+3cx+c=9cx+3c化简得：9x²-6x-2=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2}{3}$，x₁x₂=-$\frac{2}{9}$，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{2}{3}）^{2}-4×（-\frac{2}{9}）}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
如图，过点P作PH⊥x轴，交AB于H，

∴H（x，9cx+3c）、P（x，9cx²+3cx+c），
∴PH=9cx+3c-（9cx²+3cx+c）=-c（9x²-6x-2），
∴S=$\frac{1}{2}$PH•|x₁-x₂|=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$c（9x²-6x-2）=-3$\sqrt{3}$c（x-$\frac{1}{3}$）²+$\sqrt{3}$c，
∴当x=$\frac{1}{3}$时，S取得最大值，最大值为 $\sqrt{3}$c．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是理解新定义，学会利用方程组解决两个函数图象的交点问题，学会构建二次函数利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考压轴题．