Question

14．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，DF交AC于点E，EF=3，EO=4，OC=10，求∠ABC的度数．

Answer 1

分析 （1）由∠CAB=∠ACB，可得AB=BC，又由四边形ABCD是平行四边形，可得?ABCD是菱形，即可证得结论；
（2）由EF=3，EO=4，OC=10，易得EF=$\frac{1}{2}$AF，继而求得∠BAC的度数，则可求得答案．

解答 （1）证明：∵∠CAB=∠ACB，
∴AB=BC，
∴?ABCD是菱形，
∴AC⊥BD；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=10，
∵EO=4，
∴AE=OA-OE=6，
∵DF⊥AB，
∴∠AFE=90°，
∵EF=3，
∴EF=$\frac{1}{2}$AF，
∴∠BAC=30°，
∴∠BAD=2∠BAC=60°，
∴∠ABC=180°-∠BAD=120°．

点评 此题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．注意证得四边形ABCD是菱形是关键．