Question

1．如图，二次函数y=（x-h）²+k的顶点坐标为M（1，-4）．
（1）求出该二次函数的图象与x轴的交点A，B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P（点P与点M不重合），使S_△PAB=$\frac{5}{4}{S_{△MAB}}$？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由条件可先求得二次函数的解析式，再令y=0可求得A、B两点的坐标；
（2）求出△MAB的面积，再求出点P的纵坐标，然后代入抛物线解析式求解即可．

解答 解：（1）∵二次函数y=（x-h）²+k的顶点坐标为M（1，-4），
∴抛物线的表达式为y=（x-1）²-4，
令y=0，得x=-1或x=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为A（-1，0），B（3，0）；
（2）∵A（-1，0），B（3，0），M（1，-4），
∴AB=4．
∴S_△MAB=8，
∵AB=4，
∴点P到AB的距离为5时，S_△PAB=$\frac{5}{4}{S_{△MAB}}$，
即点P的纵坐标为±5．
∵点P在二次函数的图象上，且顶点坐标为M（1，-4），
∴点P的纵坐标为5，
∴5=（x-1）²-4，
∴x₁=-2，x₂=4．
∴点P的坐标为（4，5）或（-2，5）．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式及二次函数图象上点的坐标，掌握二次函数顶点式y=a（x-h）²+k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．