Question

7．已知四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是菱形．
（1）如图1，若点F在正方形ABCD内部，AF平分∠BAD，求证：DG=BE．
（2）如图2，若点F在线段BA的延长线上，∠ADG=∠ABE，DE=$\sqrt{5}$，AE=$\sqrt{2}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明DG=BE，只要证明△DAG≌△BAE即可．
（2）如图2中，作EH⊥AD于H，作AM⊥BE于M，AN⊥DG于N．通过全等三角形的证明，只要证明△AGD≌△AGB，推出∠GAD=∠GAB=135°，即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，
∵四边形AGFE是菱形，
∴AG=AE，∠FAG=∠FAE，
∵AF平分∠DAB，
∴∠FAD=∠FAB，
∴∠DAG=∠BAE，
在△DAG和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAG=∠BAE}\\{AG=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAG≌△BAE，
∴DG=BE．

（2）解：如图2中，作EH⊥AD于H，作AM⊥BE于M，AN⊥DG于N．

∵四边形EFGA是菱形，
∴FE=FG，∠EFB=∠GFB，
在△EFB和△GFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{FE=FG}\\{∠EFB=∠GFB}\\{FB=FB}\end{array}\right.$，
∴△EFB≌△GFB，
∴∠FBG=∠FBE，
∵∠FBE=∠GDA，
∴∠GDA=∠GBA，
∵∠AMB=∠AND=90°，∠ADN=∠ABM，AB=AD，
∴△ADN≌△ABM，
∴AN=AM，∵AE=AG，
∴Rt△AEM≌Rt△AGN，
∴∠AEB=∠AGD，∵∠ADG=∠EBA，AD=AB，
∴△ADG≌△ABE，
∴DG=EB=GB，
∵DG=GB，GA=GA，AD=AB，
∴△AGD≌△AGB，
∴∠GAD=∠GAB=135°，
∴∠FAG=∠FAE=∠EAD=45°，
在Rt△AEH中，∵AE=$\sqrt{2}$，∠AEH=∠EAH=45°
∴EH=AH=1，
在Rt△DEH中，DH=$\sqrt{D{E}^{2}-E{H}^{2}}$=2，
∴AD=AH+DH=3，
∴AB=AD=3．

点评 本题考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用全等三角形的判定和性质解决问题，题目比较难，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．