Question

5．如图，弦AB=CD，AB与CD相交于N点，求证：NC=NB．（请思考不同证法）

Answer 1

分析 连AC，BD，由AB=CD，得弧AB=弧DC，得弧AC=弧BD，则AC=BD；再加上∠CAB=∠CDB，∠ANC=∠DNB，可以得到△ANC≌△DNB，于是有CN=BN．

解答 证明：连AC，BD，如图，
∵AB=CD，
∴弧AB=弧DC，
∴弧AC=弧BD，
∴AC=BD；
在△ANC和△DNB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ANC=∠BND}\\{∠CAN=∠BDN}\\{AC=BD}\end{array}\right.$，
∴△ANC≌△DNB，
∴CN=BN．

点评 本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了在同圆或等圆中，相等的弦所对应的弧相等，相等的弧所对的弦相等以及三角形全等的判定与性质．