Question

以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．

(1)如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；

  如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；

(2)如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，

① 求证：HE=HG；

② 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．

Answer 1

（1）四边形EFGH是正方形．                           

(2) ①设∠ADC=α（0°＜α＜90°），

在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a；

∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，

∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD

＝360°－45°－45°－（180°－a）＝90°＋a．                   

∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形，

∴∠DHA=∠CDG= 45°，

∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE．          

∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，∴AE=AB，DG=CD，

在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，

∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，

∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG．                            

②四边形EFGH是正方形．

由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG（已证），

∴GH=GF=FG=FE，∴四边形EFGH是菱形；

∵△HAE≌△HDG（已证），∴∠AHE=∠DHG，

又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°，

∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90°，

∴四边形EFGH是正方形．