Question

12．如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，3），点A为x轴负半轴上一点，AM⊥BC于点M交y轴于点N，满足4CN=5ON．已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、C．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）连接AC，点D在线段BC上方的抛物线上，连接DC、DB，若△BCD和△ABC面积满足S_△BCD=$\frac{3}{5}$S_△ABC，求点D的坐标；
（3）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒$\frac{5}{3}$个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）先利用OC=3和4CN=5ON计算出ON=$\frac{4}{3}$，再证明△AON∽△COB，利用相似比计算出OA=1，得到A（-1，0），然后利用交点式可求出抛物线解析式为y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，作PQ∥y轴交BC于Q，如图1，设P（x，-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3），则Q（x，-$\frac{3}{4}$x+3），再计算出DQ=-$\frac{3}{4}$x²+3x，根据三角形面积公式得S_△BCD=S_△CDQ+S_△BDQ=-$\frac{3}{2}$x²+6x，然后根据S_△BCD=$\frac{3}{5}$S_△ABC得到-$\frac{3}{2}$x²+6x=$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$×（4+1）×3，然后解方程求出x即可得到D点坐标；
（3）设F（m，-$\frac{3}{4}$x+3）利用两点间的距离公式得到EF=$\sqrt{\frac{25}{16}{x}^{2}-\frac{17}{2}x+13}$，CF=$\frac{5}{4}$x，则点P在整个运动过程中所用时间t=EF+$\frac{CF}{\frac{5}{3}}$=EF+$\frac{3}{5}$CF，根据不等式公式得到EF+$\frac{3}{5}$CF≥2$\sqrt{EF•\frac{3}{5}CF}$，当EF=$\frac{3}{5}$CF时，取等号，此时t最小，解方程$\frac{25}{16}$x²-$\frac{17}{2}$x+13=（$\frac{3}{5}$•$\frac{5}{4}$x）²得x₁=2，x₂=$\frac{13}{2}$（舍去），于是得到点P在整个运动过程中所用的最少时间2×$\frac{3}{4}$×2=3秒，此时点F的坐标为（2，$\frac{3}{2}$）．

解答 解：（1）∵C（0，3），
∴OC=3，
∵4CN=5ON，
∴ON=$\frac{4}{3}$，
∵∠OAN=∠NCM，
∴△AON∽△COB，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{ON}{OB}$，即$\frac{OA}{3}$=$\frac{\frac{4}{3}}{4}$，解得OA=1，
∴A（-1，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），
把C（0，3）代入得a•1•（-4）=3，解得a=-$\frac{3}{4}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{3}{4}$（x+1）（x-4）=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3；
（2）设直线BC的解析式为y=mx+n，
把C（0，3），B（4，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{4m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{4}}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，
作PQ∥y轴交BC于Q，如图1，设P（x，-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3），则Q（x，-$\frac{3}{4}$x+3），
DQ=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3-（-$\frac{3}{4}$x+3）=-$\frac{3}{4}$x²+3x，
∴S_△BCD=S_△CDQ+S_△BDQ=$\frac{1}{2}$•4•（-$\frac{3}{4}$x²+3x）=-$\frac{3}{2}$x²+6x，
∵S_△BCD=$\frac{3}{5}$S_△ABC，
∴-$\frac{3}{2}$x²+6x=$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$×（4+1）×3，
整理得x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，
∴D点坐标为（1，$\frac{9}{2}$）或（3，3）；
（3）设F（m，-$\frac{3}{4}$x+3），则EF=$\sqrt{（x-2）^{2}+（-\frac{3}{4}x+3）^{2}}$=$\sqrt{\frac{25}{16}{x}^{2}-\frac{17}{2}x+13}$，CF=$\sqrt{{x}^{2}+（-\frac{3}{4}x+3-3）^{2}}$=$\frac{5}{4}$x，
点P在整个运动过程中所用时间t=EF+$\frac{CF}{\frac{5}{3}}$=EF+$\frac{3}{5}$CF≥2$\sqrt{EF•\frac{3}{5}CF}$，当EF=$\frac{3}{5}$CF时，取等号，此时t最小，
即$\frac{25}{16}$x²-$\frac{17}{2}$x+13=（$\frac{3}{5}$•$\frac{5}{4}$x）²，
整理得2x²-17x+26，解得x₁=2，x₂=$\frac{13}{2}$（舍去），
∴点P在整个运动过程中所用的最少时间2×$\frac{3}{4}$×2=3秒，此时点F的坐标为（2，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和不等式公式；理解坐标与图形性质，会利用两点间的距离公式计算线段的长；会用待定系数法求函数解析式；熟练一元二次方程的解法．