Question

如图，在平面直角坐标系内，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线y=x²+kx+k-1图象过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B，
（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；
（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）先求出A、C两点的坐标，再代入抛物线的解析式，就可求出该抛物线的解析式，然后根据抛物线的对称轴方程x=-

b

2a

求出抛物线的对称轴，根据抛物线上点的坐标特征求出点B的坐标；
（2）易得∠OAC=∠OCA，∠ABC＞∠ADC，由此根据条件即可得到△CAD∽△ABC，然后运用相似三角形的性质可求出CD的长，由此可得到OD的长，就可解决问题．

解答：解：（1）由x=0得y=0+4=4，则点C的坐标为（0，4）；
由y=0得x+4=0，解得x=-4，则点A的坐标为（-4，0）；
把点C（0，4）代入y=x²+kx+k-1，得k-1=4，
解得：k=5，
∴此抛物线的解析式为y=x²+5x+4，
∴此抛物线的对称轴为x=-

5

2×1

=-

5

2

．
令y=0得x²+5x+4=0，
解得：x₁=-1，x₂=-4，
∴点B的坐标为（-1，0）．

（2）∵A（-4，0），C（0，4），
∴OA=OC=4，
∴∠OCA=∠OAC．
∵∠AOC=90°，OB=1，OC=OA=4，
∴AC=

OA2+OC2

=4

2

，AB=OA-OB=4-1=3．
∵点D在y轴负半轴上，∴∠ADC＜∠AOC，即∠ADC＜90°．
又∵∠ABC＞∠BOC，即∠ABC＞90°，∴∠ABC＞∠ADC．
∴由条件“以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似”可得△CAD∽△ABC，
∴

CD

AC

=

CA

AB

，即

CD

4 2

=

4 2

3

，
解得：CD=

32

3

，
∴OD=CD-CO=

32

3

-4=

20

3

，
∴点D的坐标为（0，-

20

3

）．

点评：本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、解一元二次方程、相似三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，弄清两相似三角形的对应关系是解决第（2）小题的关键．