题目内容
12．如图所示，凤凰镇的A、B两个村庄在涌泉河CD的同侧，已知两村庄的距离为2$\sqrt{13}$千米，A、B两个村庄到涌泉河CD的垂直距离分别是2千米、6千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，凤凰镇政府决定在涌泉河CD边上修建一水厂向A、B两个村庄输送自来水．（1）如果AB之间不能铺设水管，只能从河边分别向两村铺设水管，要求铺设水管长度最短，作图找出在河岸修水厂的位置M，简要说明作图过程．
（2）如果完成这项工程镇政府投入的资金为57万元，其中修建水厂需要25万元，求按上述（1）最短方案铺设水管，平均每千米的铺管费用不得高于多少万元？
分析 （1）作出A关于CD的对称点A′，再连接A′B，A′B与CD的交点就是水厂位置M；
（2）过B作BE⊥AA′于E，首先利用勾股定理计算出EB的长，再利用勾股定理计算出AB的长，再根据总费用=修建水厂需20万元+铺设水管的所有费用即可得到答案．
解答 解：（1）作图如右图所示；
（2）过B作BE⊥AA′于E．
∵A、B两个村庄在河C、D距离分别是2千米和6千米，
∴AE=4千米，
在直角△AEB中：BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{13）^{2}-{4}^{2}}}$=6（千米），
∵A′E=4+2+2=8千米，
∴A′B=$\sqrt{B{E}^{2}+A′{E}^{2}}$=10（千米），
∴铺设水管，平均每千米的铺管费用不得高于：
（57-25）÷10=3.2（万元）．
答：按上述最短方案铺设水管，平均每千米的铺管费用不得高于3.2万元．
点评 此题主要考查了作图与应用设计，以及勾股定理的应用，关键是正确找出M点的位置．
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