Question

如图，y=-x+3交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线经过A,B,C(1,0)三点.

（1）求抛物线解析式.

（2）若点D的坐标为（-1，0）,在直线y=-x+3上有一点P使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标.

（3）在（2）的条件下，且点P为第一象限内的点，过点P作PM⊥y轴于点M，过点A作直线l平行于y轴，动点N从原点出发以每秒一个单位的速度沿0-M-P运动，同时直线l从A点出发以相同的速度沿x轴向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R,交线段BP或OP于点Q，当点M达到P点时运动停止，在运动过程中，设动点N的运动时间为t秒，是否存在以P,Q,N为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在请说明理由.

Answer 1

 (1)由题意得，A（3，0），B（0，3）
∵抛物线经过A、B、C三点，
∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y=ax²+bx+c，
解得y=x²-4x+3. ……………（2分）

(2)由题意可得，△ABO为等腰三角形，

①若△ABO∽△APD,则,

DP=AD=4.

P（-1,4）……………（1分）

②若△ABO∽△ADP,过点P作PE⊥x轴于E，AD=4

△ABO为等腰三角形

△ADP是等腰三角形，

由“等腰三角形三线合一”可得，DE=AE=2=PE，即点E与点C重合，

P(1，2) ……………（1分）

(3)当时，可得PN=PQ，t=1. ……………（2分）

当2<时，①可得QN=QP，t=.……………（2分）

②可得QN=PQ，t=.……………（2分）

③可得QN=NP，t=.