Question

6．在正方形ABCD中，E是CD上一点，AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接DF，分别交AE、AB于点G、P．已知∠BAF=∠BFD．
（1）图中存在直角三角形全等，找出其中的一对，并加以证明；
（2）证明四边形APED是矩形．

Answer 1

分析 （1）证得AE=AF，则可证明以上两条线段所在的三角形全等即可；
（2）利用正方形的性质以及垂直定义得出∠1=∠3=∠4=∠5，进而利用全等三角形的判定与性质得出AP=DE，进而利用平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．

解答 证明：（1）△ADE≌△ABF；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE=∠ABC=∠DAB=90°，AD=AB，AD∥BC，AB∥CD，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠DAE=∠BAF，
在△ADE和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠BAF}\\{AD=AB}\\{∠ADE=∠ABF=90°}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ABF（ASA）；

（2）∵AF⊥AE，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵AD∥FC，
∴∠4=∠5，
∵∠1=∠5，
∴∠1=∠3=∠4=∠5，
在△ADE和△DAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{AD=AD}\\{∠ADE=∠DAP}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DAP（ASA），
∴AP=DE，
又∵AP∥DE，
∴四边形APED是平行四边形，
∵∠PAD=90°，
∴平行四边形APED是矩形．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定和矩形的判定以及正方形的性质等知识，根据已知得出∠1=∠3=∠4=∠5是解题关键．