Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．

求证：（1）∠AOC=2∠ACD；

（2）AC²＝AB·AD．

Answer 1

证明：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，

即∠ACD+∠ACO=90°．…① 

∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，

∴∠AOC=180°-2∠ACO，即∠AOC+∠ACO=90°. …②

由①，②，得：∠ACD-∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；

（2）如图，连接BC．

∵AB是直径，∴∠ACB=90°．

在Rt△ACD与△RtACD中，

∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD，

∴△ACD∽△ABC，

∴，即AC²=AB·AD．