Question

3．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B向点C运动，点P，Q的速度都是1cm/s．
（1）经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？
（2）分别求出菱形AQCP的周长和面积．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质可得AQ=CQ，设CQ=x，表示出BQ=8-x，利用勾股定理列方程求解得到CQ，从而得到BQ，再根据时间=路程÷速度计算即可得解；
（2）根据菱形的周长等于边长的4倍列式计算即可求出周长，再根据菱形的面积等于边长乘以高计算即可求出面积．

解答 解：（1）∵四边形AQCP是菱形，
∴AQ=CQ，
设CQ=x，则BQ=BC-CQ=8-x，
在Rt△ABQ中，根据勾股定理得，AB²+BQ²=AQ²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
所以，CQ=5，
BQ=8-5=3，
∵点P，Q的速度都是1cm/s，
∴运动的时间=3÷1=3（s）；

（2）菱形AQCP的周长=4CQ=4×5=20cm，
面积=CQ•AB=5×4=20cm²．

点评 本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟记矩形与菱形的性质并列出方程是解题的关键．