Question

16．如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出以下4个结论：
①△FPD是等腰直角三角形；
②AP=EF；
③AD=PD；
④∠PFE=∠BAP．
其中，所有正确的结论是（　　）

• A． ①②
• B． ①④
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 用正方形的性质和垂直的定义判断出四边形PECF是矩形，从而判定②正确；
直接用正方形的性质和垂直得出①正确，
利用全等三角形和矩形的性质得出④正确，
由点P是正方形对角线上任意一点，说明AD和PD不一定相等，得出③错误．

解答 解：如图，

∵P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，
∴PA=PC，∠C=90°，
∵过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD，
∴∠PEC=∠DFP=∠PFC=∠C=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC=EF，
∴PA=EF，故②正确，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD=∠BDC=∠DBC=45°，
∵∠PFC=∠C=90°，
∴PF∥BC，
∴∠DPF=45°，
∵∠DFP=90°，
∴△FPD是等腰直角三角形，故①正确，
在△PAB和△PCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABP=∠CBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△PAB≌△PCB，
∴∠BAP=∠BCP，
在矩形PECF中，∠PFE=∠FPC=∠BCP，
∴∠PFE=∠BAP．故④正确，
∵点P是正方形对角线BD上任意一点，
∴AD不一定等于PD，
只有∠BAP=22.5°时，AD=PD，故③错误，
故选C

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，解本题的关键是判断出四边形PECF是矩形．