如图.在平面直角坐标系中.O为坐标原点.点A.B的坐标分别为．动点Q从点O.动点P从点A同时出发.分别沿着OA方向.AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动.运动时间为t．以P为圆心.PA长为半径的⊙P与AB.OA的另一个交点分别为点C.D.连结CD.QC．(1)求当t为何值时.点Q与点D重合?(2)设△QCD的面积为S.试求S与t之间的函数关系.并写出自变量� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为点C、D，连结CD、QC．
（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？
（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；
（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．

分析（1）由CD∥OB，得$\frac{AD}{OA}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{AD}{8}$=$\frac{2t}{10}$，推出AD=$\frac{8}{5}$t，当D、Q重合时，OQ+AD=8，可得方程t+$\frac{8}{5}$t=8，解方程即可．
（2）分两种情形讨论①当0＜t≤$\frac{40}{13}$时，②$\frac{40}{13}$＜t≤5时，分别求解即可．
（3）当CQ与⊙P相切时，由△CDQ∽△ADC，得CD²=AD•QD，可得（$\frac{6}{5}$t）²=（8-t-$\frac{8}{5}$t）•$\frac{8}{5}$t，解得t=$\frac{16}{7}$，观察图象即可解决问题，注意“线段QC”．

解答解：（1）在Rt△AOB中，∵OA=8，OB=6，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵AC是⊙P直径，
∴∠CDA=90°，即可CD⊥OA，
∴CD∥OB，
∴$\frac{AD}{OA}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CD}{BO}$，
∴$\frac{AD}{8}$=$\frac{2t}{10}$=$\frac{CD}{6}$，
∴AD=$\frac{8}{5}$t，CD=$\frac{6}{5}$t，
∵OQ=t，
当D、Q重合时，OQ+AD=8，
∴t+$\frac{8}{5}$t=8，
∴t=$\frac{40}{13}$．
∴t=$\frac{40}{13}$s时，D、Q重合．

（2）①当0＜t≤$\frac{40}{13}$时，S=$\frac{1}{2}$•（8-t-$\frac{8}{5}$t）•$\frac{6}{5}$t=-$\frac{39}{25}$t²+$\frac{24}{5}$t．
②$\frac{40}{13}$＜t≤5时，s=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{8}{5}$t-8）•$\frac{6}{5}$t=$\frac{39}{25}$t²-$\frac{24}{5}$t．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{39}{25}{t}^{2}+\frac{24}{5}t}&{（0＜t≤\frac{40}{13}）}\\{\frac{39}{25}{t}^{2}-\frac{24}{5}t}&{（\frac{40}{13}＜t≤5）}\end{array}\right.$．

（3）当CQ与⊙P相切时，由△CDQ∽△ADC，得CD²=AD•QD，
∴（$\frac{6}{5}$t）²=（8-t-$\frac{8}{5}$t）•$\frac{8}{5}$t，
解得t=$\frac{16}{7}$，
观察图象可知，0＜t$≤\frac{16}{7}$或$\frac{40}{13}$＜t≤5时，⊙P与线段QC只有一个交点．