Question

2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E，F分别是AC，BC边上一点．
（1）求证：$\frac{AC}{BC}$=$\frac{CD}{BD}$；
（2）若CE=$\frac{1}{3}$AC，BF=$\frac{1}{3}$BC，求∠EDF的度数．

Answer 1

分析 （1）证相关线段所在的三角形相似即可，即证Rt△ADC∽Rt△CDB；
（2）易证得CE：BF=AC：BC，联立（1）的结论，即可得出CE：BF=CD：BD，由此易证得△CED∽△BFD，即可得出∠CDE=∠BDF，由于∠BDF和∠CDF互余，则∠EDC和∠CDF也互余，由此可求得∠EDF的度数．

解答 解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=90°
又∵∠A+∠B=90°
∴∠B=∠ACD
∴Rt△ADC∽Rt△CDB
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{CD}{BD}$；

（2）∵$\frac{CE}{BF}$=$\frac{\frac{1}{3}AC}{\frac{1}{3}BC}$=$\frac{AC}{BC}$，
又∵∠ACD=∠B，
∴△CED∽△BFD；
∴∠CDE=∠BDF；
∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠BDF+∠CDF=∠CDB=90°．

点评 此题考查的是相似三角形的判定和性质；识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．