Question

已知：△ABC是正三角形，且边长为1,点E是直线AB上的一个动点，过点E作BC的平行线交直线AC于点F，将线段EC绕点E旋转，使点C落在直线BC上的点D处；

（1）当点E在△ABC的边AB上时，

①求证：AE=BD

②设梯形EDCF的面积为S，当S达到最大值时，求∠ECB的正切值。

(2)当点E不在边AB上时，由A、D、E、C四点围成的四边面积能否为，若能，求出AE长，若不能请说明理由.

Answer 1

方法一:如图在正ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60^o,AB=BC=AC,

∵EF//BC,

∴∠AEF=∠AFE=60^o=∠BAC,

∴△AEF是正三角形, ………….1分

∴AE=AF=EF,

∴AB-AE=AC-AF,即BE=CF,

又∵∠ABC=∠EDB+∠BED==60^o,

∠ACB=∠ECB+∠FCE==60^o,

∵ED=EC,

∴∠EDB=∠ECB,

∴∠BED=∠FCE,

∴△EDB≌△CEF………….1分

DB=EF,

∴AE=BD………….1分

方法二: :如图,在正ABC中，∠ABC=∠ACB=60^o∠ABD=120^o,

又∵∠ABC=∠EDB+∠BED,∠ACB=∠ECB+∠FCE,

∵ED=EC,

∴∠EDB=∠ECB,

∴∠BED=∠FCE,

∵EF//BC, ………….1分

∴∠AEF=∠AFE=60^o=∠BAC,

∴△AEF是正三角形, ∠EFC=180^o-∠ACB=120^o,

∴△EDB≌△CEF………….1分

DB=EF,

∴AE=BD………….1分

第（1）小题②

解答:过点E作EH⊥DC于点H,

设AE=x,则s=(EF+DC) ×EH=(x+x+1) ×(1-x) ………….1分

=-x²+x+

当x=时，有最大值；

此时，EB=，则EH=，BH=,CH=,………….1分

tan∠ECB===………….1分

第(2)小题分类讨论：当点E在BA延长线上，且AE<1时；当点E在BA延长线上，且AE>1时；当点E在AB延长线上时.共三种情况。

解：当点E不在边AB上时，由A、D、E、C四点围成的四边面积能为，具体解答过程如下：

设AE=x,分以下三种情况讨论：

1）当点E在BA延长线上，且AE<1时；由（1）第①同理可得AE=BD,S_{四边形ADCE}=S_△BCE-S_△BDA=×BE×BC×sin60^o-×BE×BC×sin60^o=×(x+1)×1×sin60^o-x×1×sin60^o=≠，不成立…………2分

2) 当点E在BA延长线上，且AE>1时；S_{四边形AEDC}=S_△BDE-S_△BAC=×BE×BD×sin60^o-×BA×BC×sin60^o=×(x+1)×x×sin60^o-×1×1×sin60^o=(x²+x-1)

由题意得：(x²+x-1)=

解得：x₁= ,x₁=(舍去) ………….2分

3）当点E在AB延长线上时；S_{四边形ADECC}=S_△ADC+S_△EDC=×DC×AM+×DC×EN=DC×AE×sin60^o=×(x+1)×x×sin60^o=(x²+x)

得：(x²+x)=  

解得：x₁=5 ,x₂=-6(舍去)

综上所述，当时AE=或5时，由A、D、E、C四点围成的四边面积为。………….2分