Question

如图所示，抛物线m：y=ax²+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C_1，与x轴的另一个交点为A₁.

1.当a=－1 , b=1时，求抛物线n的解析式；

2.四边形AC₁A₁C是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；

3.若四边形AC₁A₁C为矩形，请求出a和b应满足的关系式.

 

Answer 1

 

1.当时，抛物线的解析式为：.

令，得：.         ∴C（0,1）.

令，得：.        ∴A（-1,0），B（1,0）

    ∵C与C₁关于点B中心对称， ∴C₁（2, -1）.

∴抛物线的解析式为： 

2.四边形AC₁A₁C是平行四边形.              

 理由：∵C与C₁、A与A₁都关于点B中心对称，

∴,     ∴四边形AC₁A₁C是平行四边形.

3.令，得：.     ∴C（0,）.

令，得：,   ∴,

     ∴,  ∴.

要使平行四边形AC₁A₁C是矩形，必须满足,

∴，    ∴，

        ∴.         ∴应满足关系式.

解析:

1.根据a=-1，b=1得出抛物线m的解析式，再利用C与C₁关于点B中心对称，得出二次函数的顶点坐标，即可得出答案；

2.利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证明；

3.利用矩形性质得出要使平行四边形AC₁A₁C是矩形，必须满足AB=BC，即可求出．