Question

3．为纪念长征胜利80周年，学校举行纪念活动特定制了一批红军帽徽正五角星．如图，已知AC=2，则EF的长为3-$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由正五边形的性质结合对边形的内角和即可得出AB=DE、AC=AD=EC、∠CBA=∠BAE=∠AED=108°，根据等腰三角形的性质结合角的计算即可得出∠ACE=∠BAC，从而得出AB∥CE，同理可得出BC∥AD，AC∥DE，进而可证出四边形ABCF为菱形，设EF=x，则DE=AB=CF=2-x，由AC∥DE利用平行线的性质即可得出$\frac{x}{2-x}$=$\frac{2-x}{2}$，解之经检验后取小于2的值即可．

解答 解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB=BC=DE，AC=AD=EC，∠CBA=∠BAE=∠AED=108°，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=36°，
∴∠ACE=108°-36°-36°=36°=∠BAC，
∴AB∥CE．
同理，可得：BC∥AD，AC∥DE，
∵AB=BC，
∴四边形ABCF为菱形．
设EF=x，则DE=AB=CF=2-x，
∴$\frac{x}{2-x}$=$\frac{2-x}{2}$，
解得：x₁=3-$\sqrt{5}$或x₂=3+$\sqrt{5}$，
∵x＜2，
∴x=3-$\sqrt{5}$，
经检验，x=3-$\sqrt{5}$是原分式方程的解．
故答案为：3-$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了正多边形的性质、正多边形的内角和、角的计算、菱形的判定与性质以及平行线的性质，根据正多边形的性质结合平行线的性质找出$\frac{x}{2-x}$=$\frac{2-x}{2}$是解题的关键．