Question

20．如图，已知斜坡AB长为80米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．
（1）若修建的斜坡BE的坡角为45°，求平台DE的长；（结果保留根号）
（2）一座建筑物GH距离A处36米远（即AG为36米），小明在D处测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，求建筑物GH的高度．（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）根据题意得出∠BEF=45°，解直角△BDF，求出BF，DF，进而得出EF的长，即可得出答案；
（2）利用在Rt△DPA中，DP=$\frac{1}{2}$AD，以及PA=AD•cos30°进而得出DM的长，利用HM=DM•tan30°得出即可．

解答 解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角为45°，
∴∠BEF=45°，
∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=40，
∴BF=EF=$\frac{1}{2}$BD=20，DF=$20\sqrt{3}$，
∴DE=DF-EF=20$\sqrt{3}$-20，
∴平台DE的长为（20$\sqrt{3}$-20）米；

（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P．
在Rt△DPA中，DP=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×40=20，PA=AD•cos30°=20$\sqrt{3}$，
在矩形DPGM中，MG=DP=20，DM=PG=PA+AG=20$\sqrt{3}$+36．
在Rt△DMH中，HM=DM•tan30°=（20$\sqrt{3}$+36）×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=20+12$\sqrt{3}$，
则GH=HM+MG=20+12$\sqrt{3}$+20=40+12$\sqrt{3}$．
答：建筑物GH高为（40+12$\sqrt{3}$）米．

点评 此题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及仰角俯角问题，根据图形构建直角三角形，进而利用锐角三角函数得出是解题关键．