Question

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，分别交x轴于A、B两点，交y轴交于C点，顶点为D．
（1）如图1，连接AD，R是抛物线对称轴上的一点，当AR⊥AD时，求点R的坐标；
（2）在（1）的条件下．在直线AR上方，对称轴左侧的抛物线上找一点P，过P作PQ⊥x轴，交直线AR于点Q，点M是线段PQ的中点，过点M作MN∥AR交抛物线对称轴于点N，当平行四边形MNRQ周长最大时，在抛物线对称轴上找一点E，y轴上找一点F，使得PE+EF+FA最小，并求此时点E、F的坐标．
（3）如图2，过抛物线顶点D作DH⊥AB于点H，将△DBH绕着H点顺时针旋转得到△D′B′H′且B′落在线段BD上，将线段AC直沿直线AC平移后，点A、C对应的点分别为A′、C′，连接D′C′，D′A′，△D′C′A′能否为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点A′的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出直线AD的解析式，根据AR⊥AD，再求出直线AR的解析式即可解决问题．
（2）如图1中，设P（m，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+$\sqrt{3}$m+3$\sqrt{3}$），则Q（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m-2$\sqrt{3}$），M（m，-$\frac{\sqrt{3}}{8}$m²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{\sqrt{3}}{2}$），构建二次函数，利用二次函数的性质求出点P坐标，如图2中，点P关于对称轴的对称点为M，点M关于y轴的对称点为N，连接AN交y轴于F，连接FM交对称轴于E，此时PE+EF+AF最小．分别求出直线AN、FM的解析式即可解决问题．
（3）分三种情形讨论即可①当C′D′=A′C′=3$\sqrt{7}$时．②当A′D′=A′C′=3$\sqrt{7}$时．③当D′C′=D′A′时分别求解即可．

解答 解：（1）对于抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，令y=0，得-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$=0，解得x=-2或6，
∴B（-2，0），A（6，0），
∵y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-2）²+4$\sqrt{3}$，
∴抛物线顶点D坐标为（2，4$\sqrt{3}$），对称轴x=2，
设直线AD的解析式为y=kx+b则有$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4\sqrt{3}}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=6\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+6$\sqrt{3}$，
∵AR⊥AD，
∴直线AR的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2$\sqrt{3}$，
∴点R坐标（2，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．

（2）如图1中，设P（m，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+$\sqrt{3}$m+3$\sqrt{3}$），则Q（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m-2$\sqrt{3}$），M（m，-$\frac{\sqrt{3}}{8}$m²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{\sqrt{3}}{2}$），

由（1）可知tan∠DAB=$\frac{4\sqrt{3}}{4}$=$\sqrt{3}$，
∴∠DAB=60°，∵∠DAQ=90°，
∴∠BAQ=30°，
∴平行四边形MNRQ周长=2（-$\frac{\sqrt{3}}{8}$m²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+2$\sqrt{3}$）+2（2-m）•cos30°=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+7$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（m+$\frac{2}{3}$）²+$\frac{64\sqrt{3}}{9}$，
∴m=-$\frac{2}{3}$时，平行四边形MNRQ周长最大，
此时P（-$\frac{2}{3}$，$\frac{20\sqrt{3}}{9}$），
如图2中，点P关于对称轴的对称点为M，点M关于y轴的对称点为N，连接AN交y轴于F，连接FM交对称轴于E，此时PE+EF+AF最小．

理由：PE+EF+AF=EM+FE+AF=FM+AF=FN+AF=AN，
根据两点之间线段最短，可知此时PE+EF+AF最小．
∵M（$\frac{14}{3}$，$\frac{20\sqrt{3}}{9}$），N（-$\frac{14}{3}$，$\frac{20\sqrt{3}}{9}$），
∴直线AN的解析式为y=-$\frac{5\sqrt{3}}{24}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，
∴点F坐标（0，$\frac{5\sqrt{3}}{4}$），
∴直线FM的解析式为y=$\frac{5\sqrt{3}}{24}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，
∴点E坐标（2，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）．

（3）能．如图3中，

由题意可知，∠DBH=60°，∵HB=HB′，
∴△BHB′是等边三角形，
∴BB′=BH=HB′=DB′=4，∠D′B′H=∠BHB′=60°，
∴B′D′∥x轴，D′（8，2$\sqrt{3}$），AC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{7}$，
∵C（0，3$\sqrt{3}$），A（6，0），
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+3$\sqrt{3}$，
①当C′D′=A′C′=3$\sqrt{7}$时，设C′（m，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m+3$\sqrt{3}$），
∴（8-m）²+（2$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$m-3$\sqrt{3}$）²=（3$\sqrt{7}$）²，
解得m=$\frac{38-2\sqrt{333}}{7}$或$\frac{38+2\sqrt{333}}{7}$，
∴C′（$\frac{38-2\sqrt{333}}{7}$，$\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{111}}{7}$）或（$\frac{38+2\sqrt{333}}{7}$，$\frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{111}}{7}$），
把点C′向下平移3$\sqrt{3}$个单位，向右平移6个单位得到A′，
∴此时A′的坐标为（$\frac{80-2\sqrt{333}}{7}$，$\frac{-19\sqrt{3}+3\sqrt{111}}{7}$）或（$\frac{80+2\sqrt{333}}{7}$，$\frac{-19\sqrt{3}-3\sqrt{111}}{7}$）．
②当A′D′=A′C′=3$\sqrt{7}$时，设A′（n，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$n+3$\sqrt{3}$），
∴（8-n）²+（2$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$n-3$\sqrt{3}$）²=（3$\sqrt{7}$）²，
解得n=$\frac{38-2\sqrt{333}}{7}$或$\frac{38+2\sqrt{333}}{7}$，
∴A′（$\frac{38-2\sqrt{333}}{7}$，$\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{111}}{7}$）或（$\frac{38+2\sqrt{333}}{7}$，$\frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{111}}{7}$），
③当D′C′=D′A′时，作D′H⊥A′C′于H，则直线D′H的解析式为y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\frac{10\sqrt{3}}{3}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+3\sqrt{3}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{38}{7}}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{7}}\end{array}\right.$，
∴点H坐标（$\frac{38}{7}$，$\frac{2\sqrt{3}}{7}$），
把点H向下平移$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，向右平移3个单位即可得到A′（$\frac{59}{7}$，-$\frac{17\sqrt{3}}{14}$）．
综上所述，满足条件的点A′的坐标为（$\frac{80-2\sqrt{333}}{7}$，$\frac{-19\sqrt{3}+3\sqrt{111}}{7}$）或（$\frac{80+2\sqrt{333}}{7}$，$\frac{-19\sqrt{3}-3\sqrt{111}}{7}$）或（$\frac{38-2\sqrt{333}}{7}$，$\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{111}}{7}$）或（$\frac{38+2\sqrt{333}}{7}$，$\frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{111}}{7}$）或（$\frac{38}{7}$，$\frac{2\sqrt{3}}{7}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、两点间距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用对称解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．