Question

7．如图，直线DE过等边△ABC的顶点B，连接AD、CE，AD∥CE，∠E=30°，若BE：AD=1：$\sqrt{3}$，CE=4$\sqrt{3}$时，则BC=2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 作辅助线，构建全等三角形和直角三角形，由旋转得：∠PCE=60°，∠APC=∠E=30°，根据BE：AD=1：$\sqrt{3}$，设AD=$\sqrt{3}$x，BE=x，则AP=BE=x，根据三角函数表示PF、PH、AH、GH的长，根据PG=GH+PH列式求x的长，得BE=2，在△BGC中，利用勾股定理求得BC的长．

解答 解：将△CBE绕C逆时针旋转60°到△CAP，BC与AC重合，延长DA交PC于H，过H作HF⊥AP于F，CP交DE于G，
∴∠PCE=60°，
∵∠E=30°，
∴∠CGE=90°，
由旋转得：CE=CP，
Rt△CGE中，CE=CP=4$\sqrt{3}$，
∴CG=$\frac{1}{2}$CE=2$\sqrt{3}$，
∴GP=PC-CG=2$\sqrt{3}$，
∵AD：BE=$\sqrt{3}$：1，
设AD=$\sqrt{3}$x，BE=x，则AP=BE=x，
∵AD∥BE，
∴∠ADE=∠E=30°，
Rt△DGH中，∠DHG=60°，
由旋转得：∠APC=∠E=30°，
∴∠HAP=60°-30°=30°，
∴∠HAP=∠APC=30°，
∴AH=PH，AF=PF=$\frac{1}{2}$x，
cos30°=$\frac{PF}{PH}$，
∴PH=$\frac{\frac{1}{2}x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴DH=AD+AH=$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x，
∴GH=$\frac{1}{2}$DH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
∵PG=2$\sqrt{3}$=GH+PH，
∴2$\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
x=2，
∴BE=x=2，
由勾股定理得：EG=$\sqrt{E{C}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=6，
∴BG=6-2=4，
在Rt△BGC中，BC=$\sqrt{B{G}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$；
故答案为：$2\sqrt{7}$．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形、特殊的三角函数等知识的运用，熟练掌握特殊角的三角函数值，巧妙运用旋转作辅助线，利用等边三角形60°角将三角形平移到另一位置中，根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半解决此题．