题目内容

如图,已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D.将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F.

(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;

(2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时,求CF的长;

(3)连结EF,设△BEF与△BFC的面积之差为S,问:当CF为何值时S最小,并求出这个最小值.

练习册系列答案
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20.问题再现:
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性,从而可以帮助我们快速解题.初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.
例如:利用图形的几何意义证明完全平方公式.
证明:将一个边长为a的正方形的边长增加b,形成两个矩形和两个正方形,如图1:
这个图形的面积可以表示成:
(a+b)2或 a2+2ab+b2
∴(a+b)2 =a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式.
类比解决:
(1)请你类比上述方法,利用图形的几何意义证明平方差公式.(要求画出图形并写出推理过程)
问题提出:如何利用图形几何意义的方法证明:13+23=32
如图2,A表示1个1×1的正方形,即:1×1×1=13
B表示1个2×2的正方形,C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形,因此:B、C、D就可以表示2个2×2的正方形,即:2×2×2=23
而A、B、C、D恰好可以拼成一个(1+2)×(1+2)的大正方形.
由此可得:13+23=(1+2)2=32
尝试解决:
(2)请你类比上述推导过程,利用图形的几何意义确定:13+23+33=62.(要求写出结论并构造图形写出推证过程).
(3)问题拓广:
请用上面的表示几何图形面积的方法探究:13+23+33+…+n3=[$\frac{1}{2}$n(n+1)]2.(直接写出结论即可,不必写出解题过程)

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