Question

8．如图，⊙O的半径为2，∠OAB=30°，AB切⊙O于B，弦BC∥OA，连结AC．则图中阴影部分的面积S=$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 连接OC、OB，△OBC与△BCA是同底等高，则它们的面积相等，因此阴影部分的面积实际是扇形OCB的面积；扇形OCB中，已知了半径的长，关键是圆心角∠COB的度数．由切线的性质及已知条件可求得∠AOB；由于OA∥BC，也就求得了∠OBC的度数，进而可在△COB中求出∠COB的度数，由此可根据扇形的面积公式求出阴影部分的面积．

解答 解：
连接OC、OB，
∵OB是半径，AB是切线，
∴则∠ABO=90°，
∵∠OAB=30°
∴∠AOB=90°-30°=60°，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∵BC∥OA，
∴S_△CBA=S_△CBO，
∴S_阴影=S_扇形CBO=$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{2π}{3}$，
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题主要考查扇形面积的计算，把阴影部分面积化为扇形COB的面积是解题的关键．