题目内容
11．
如图，AB=3，∠A=∠B=30°，动点O从A出发，沿AB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤1.5）．以O为圆心，OA长为半径的⊙O与射线AB，AC的另一个交点分别为P，Q，连接CP，PQ．（1）当t为何值时⊙O和直线BC相切；
（2）若线段PC和⊙O只有一个交点，请求出t的取值范围；
（3）设△QCP的面积为S，试求S与t之间的函数表达式，并求S的最大值．
分析 （1）先过点C作CO⊥BC交AB于点O，此时⊙O和直线BC相切，再设AO=x，利用RT△OCB列出方程求解即可，
（2）由图可得分两种情况：当①0＜t≤$\frac{3}{4}$时，线段PC和⊙O只有一个交点；②当1＜t≤1.5时，线段PC和⊙O只有一个交点；
（3）分三种情况①当t＜1时，②当t=1时，③1＜t≤1.5时分别求解即可．
解答 解：（1）如图1，过点C作CO⊥BC交AB于点O，
∵∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=120°，
又∵∠OCB=90°，
∴∠OCA=30°，
∴此时⊙O和直线BC相切，
设AO=x，则BO=3-x，
∵AO=OC，
在RT△OCB中，3-x=2x，
解得x=1．
∴当t=1时，⊙O和直线BC相切；
（2）①如图2，作CD⊥AB交AB于点D，
∵AB=3，∠A=∠B=30°，
∴AD=$\frac{3}{2}$，
∴AO=$\frac{3}{4}$，
∴当0＜t≤$\frac{3}{4}$时，线段PC和⊙O只有一个交点；
②当1＜t≤1.5时，线段PC和⊙O只有一个交点，
综上所述：当0＜t≤$\frac{3}{4}$或1＜t≤1.5时，线段PC和⊙O只有一个交点；
（3）①当t＜1时，如图3，作CD⊥AB交AB于点D，
∵AB=3，∠A=∠B=30°，
∴AD=$\frac{3}{2}$，
∴AC=$\sqrt{3}$，
∵∠AQP=90°，∠A=30°，
∴AQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AP=$\sqrt{3}$AO，QP=AO，
∴QC=AC-AQ=$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$AO，
∴S=$\frac{1}{2}$QC•QP=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）•t=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-$\frac{1}{2}$）2+$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
∴S的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{8}$；
②当t=1时，S=0，
③1＜t≤1.5时，如图4，
∵∠AQP=90°，∠A=30°，
∴AQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AP=$\sqrt{3}$AO，QP=AO，
∵AC=$\sqrt{3}$，
∴QC=AQ-AC=$\sqrt{3}$AO-$\sqrt{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$QC•QP=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$t-$\sqrt{3}$）•t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-$\frac{1}{2}$）2-$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
∴当t=1.5时，S有最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{8}$．
点评 本题主要考查了圆的综合题，涉及切线，等腰三角形，特殊直角三角形及三角形的面积，解题的关键是根据情况正确的讨论求解，不要漏解．
| A． | 这一天的最高气温是30℃ | B． | 这一天24：00达到最低气温 | ||
| C． | 估计这一天7：00的气温是24℃ | D． | 估计这一天15：00的气温是28℃ |
