Question

已知：如图，在正方形ABCD中，点E是边AD的中点，联结BE，过点A作AF⊥BE，分别交BE、CD于点H、F，联结BF．
（1）求证：BE=BF；
（2）联结BD，交AF于点O，联结OE．求证：∠AEB=∠DEO．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：（1）根据正方形性质得出AB=DA=BC=CD，∠BAD=∠ADF=∠BCF=90°，求出∠ABH=∠HAE，证△ABE∽△DAF，得出比例式，求出AE=DF，CF=AE，证出Rt△ABE≌Rt△CBF即可；
（2）根据正方形性质求出∠ADB=∠CDB，证△DEO≌△DFO，推出∠DEO=∠DFO，根据△ABE∽△DAF推出∠AEB=∠DFA，即可得出答案．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA=BC=CD，∠BAD=∠ADF=∠BCF=90°，
∴∠BAH+∠HAE=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠AHB=90°，
即∠BAH+∠ABH=90°，
∴∠ABH=∠HAE，
又∵∠BAE=∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴

AB

DA

=

AE

DF

，
∴AE=DF，
∵点E是边AD的中点，
∴点F是边DC的中点，
∴CF=AE，
在Rt△ABE与Rt△CBF中，

AB=CD AE=CF

∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
∴BE=BF．

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，
在△DEO与△DFO中，

ED=FD ∠ADB=∠CDB DO=DO

∴△DEO≌△DFO（SAS），
∴∠DEO=∠DFO，
∵△ABE∽△DAF，
∴∠AEB=∠DFA，
∴∠AEB=∠DEO．

点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度适中．