Question

10．研究二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}x+{b}_{1}y={c}_{1}}\\{{a}_{2}x+{b}_{2}y={c}_{2}}\end{array}\right.$的解与两直线l₁：a₁x+b₁y=c₁与l₂：a₂x+b₂y=c₂位置关系的联系．（其中6个常数均不为零）（每小题前一个空选填“唯一”“无”或“无数多组”；后一个空选填“相交”“平行”或“重合”）
（1）当$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$≠$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$时，从“数”看，方程有一个解；从“形”看，l₁与l₂相交
（2）当$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$≠$\frac{{c}_{1}}{{c}_{2}}$时，从“数”看，方程有0个解；从“形”看，l₁与l₂平行
（3）当$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$=$\frac{{c}_{1}}{{c}_{2}}$时，从“数”看，方程有无数个解；从“形”看，l₁与l₂重合．

Answer 1

分析 （1）根据$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$≠$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$可得出两直线l₁：a₁x+b₁y=c₁与l₂：a₂x+b₂y=c₂相交，进而即可得出方程组有一个解；
（2）根据$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$≠$\frac{{c}_{1}}{{c}_{2}}$可得出两直线l₁：a₁x+b₁y=c₁与l₂：a₂x+b₂y=c₂平行，进而即可得出方程组无解；
（3）根据$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$=$\frac{{c}_{1}}{{c}_{2}}$可得出两直线l₁：a₁x+b₁y=c₁与l₂：a₂x+b₂y=c₂重合，进而即可得出方程组有无数个解．

解答 解：（1）当$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$≠$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$时，两直线l₁：a₁x+b₁y=c₁与l₂：a₂x+b₂y=c₂相交，
∴方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}x+{b}_{1}y={c}_{1}}\\{{a}_{2}x+{b}_{2}y={c}_{2}}\end{array}\right.$有一个解．
故答案为：一个；相交．
（2）当$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$≠$\frac{{c}_{1}}{{c}_{2}}$时，两直线l₁：a₁x+b₁y=c₁与l₂：a₂x+b₂y=c₂平行，
∴方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}x+{b}_{1}y={c}_{1}}\\{{a}_{2}x+{b}_{2}y={c}_{2}}\end{array}\right.$无解．
故答案为：0个；平行．
（3）当$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$=$\frac{{c}_{1}}{{c}_{2}}$时，两直线l₁：a₁x+b₁y=c₁与l₂：a₂x+b₂y=c₂重合，
∴方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}x+{b}_{1}y={c}_{1}}\\{{a}_{2}x+{b}_{2}y={c}_{2}}\end{array}\right.$有无数个解．
故答案为：无数个；重合．

点评 本题考查了一次函数与二元一次方程（组），根据两直线的位置关系找出方程（组）的解的个数是解题的关键．