Question

19．如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则$\frac{EF}{GH}$的值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先设⊙O的半径是r，则OF=r，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出EF：GH的值是多少即可．

解答 解：如图，连接AC、BD、OF，，
设⊙O的半径是r，
则OF=r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF=60°÷2=30°，
∵OA=OF，
∴∠OFA=∠OAF=30°，
∴∠COF=30°+30°=60°，
∴FI=r•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
∴EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r×2=$\sqrt{3}$r，
∵AO=2OI，
∴OI=$\frac{1}{2}$r，CI=r-$\frac{1}{2}$r=$\frac{1}{2}$r，
∴$\frac{GH}{BD}=\frac{CI}{CO}=\frac{1}{2}$，
∴GH=$\frac{1}{2}$BD=r，
∴$\frac{EF}{GH}=\frac{\sqrt{3}r}{r}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了正多边形与圆的关系、相似三角形的判断和性质以及特殊角的锐角三角函数值，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正多边形的有关概念．