Question

如图，AB为⊙O的固定直径，过⊙O上一点作CD⊥AB，交⊙O于D，∠OCD的平分线交⊙O于P，到C点在半圆上（不包括A、B两点）移动时，点P的位置是否发生改变？请说明理由．

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系

专题：计算题

分析：连接OP，由∠1=∠3，∠1=∠2得到∠2=∠3，根据平行线的判定得到CD∥OP，由于CD⊥AB，则OP⊥AB，根据垂径定理得到

AP

=

BP

，于是判断点P的位置不发生改变．

解答：解：点P的位置不发生改变．理由如下：
连接OP，
∵CP平分∠OCD，
∴∠1=∠3，
而OC=OP，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴CD∥OP，
∵CD⊥AB，
∴OP⊥AB，
∴

AP

=

BP

，
即点P为半圆AB的中点．

点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．