如图.一次函数y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1的图象与x轴.y轴分别交于点A.B.以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC.(1)求△ABC的面积,(2)如果在第二象限内有一点P.试求四边形AOPB的面积S与a之间的函数关系式.并求出当△ABP的面积与△ABC的面积相等时a的值,(3)在x轴上.是否存在这样的点M.使△MAB为等腰三角形?若存在.请写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．

如图，一次函数y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（a，$\frac{1}{2}$），试求四边形AOPB的面积S与a之间的函数关系式，并求出当△ABP的面积与△ABC的面积相等时a的值；
（3）在x轴上，是否存在这样的点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，请写出所有符合要求的点M的坐标，并说明理由．

分析（1）根据一次函数y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1求出A、B两点的坐标，根据两点之间的距离公式求出AB的长，过C作CD⊥AB于D，根据等边三角形的性质及特殊角的三角函数值可求出CD的长，再由三角形的面积公式求解即可；
（2）根据已知条件和三角形的面积公式得出S_△AOB、S_△AOP、S_△BOP的面积，再根据S_△ABP=S_{四边形ABPO}-S_△APO和△ABP的面积与△ABC的面积相等，即可求出a的值；
（3）根据点A的坐标和AB的值，分别以AB为腰和底时，求出符合条件的M的坐标即可．

解答解：（1）如图1，过点C作CD⊥AB，
当x=0，y=1；当y=0，则x=$\sqrt{3}$，则A（$\sqrt{3}$，0），B（0，1），
AB=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2，
过C作CD⊥AB于D，
∵△ABC是等边三角形，∴BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴CD=BD•tan60°=1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$；

（2）如图2，过点P作PM⊥y轴，PN⊥x轴，交y轴上一点M，x轴上一点N，
∵A（$\sqrt{3}$，0），B（0，1），P（a，$\frac{1}{2}$），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，S_△AOP=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，S_△BOP=$\frac{1}{2}$|a|•OB=-$\frac{a}{2}$，
∴S_{四边形ABPO}=S_△AOB+S_△BOP=$\frac{\sqrt{3}-a}{2}$
∵S_△ABP=S_{四边形ABPO}-S_△APO，
∴当△ABP的面积与△ABC的面积相等时，$\frac{\sqrt{3}-a}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\sqrt{3}$，
解得：a=-$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$；

（3）如图3，∵△MAB为等腰三角形，A（$\sqrt{3}$，0），
∴M₁（-$\sqrt{3}$，0）；
∵AB=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2，
∴AM₂=2，
∴M₂（$\sqrt{3}$-2，0）；
同理可得：M₃（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），M₄（$\sqrt{3}$+2，O）；
则满足条件的点M有4个，M₁（-$\sqrt{3}$，0）．M₂（$\sqrt{3}$-2，0），M₃（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），M₄（$\sqrt{3}$+2，O）；