Question

17．如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连结AG，分别交BD、CD于点E、F，连结CE．
（1）求证：∠DAE=∠DCE；
（2）当CE=2EF时，EG与EF的等量关系是FG=3EF．

Answer 1

分析 （1）根据四边形ABCD是菱形可得出△ADE≌△CDE就可证明；
（2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到△CEF∽△GEC，可得EF：EC=CE：GE，又因为EC=2EF，就能得出FG=3EF．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDB；
在△ADE和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDB}\\{DE=DE}\end{array}\right.$．
∴△ADE≌△CDE，
∴∠DAE=∠DCE．

（2）解：结论：FG=3EF．
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠G，
由题意知：△ADE≌△CDE
∴∠DAE=∠DCE，
则∠DCE=∠G，
∵∠CEF=∠GEC，
∴△ECF∽△EGC，
∴$\frac{EF}{EC}$=$\frac{EC}{EG}$，
∵EC=2EF，
∴$\frac{EC}{EG}$=$\frac{1}{2}$，
∴EG=2EC=4EF，
∴FG=EG-EF=4EF-EF=3EF．
故答案为FG=3EF．

点评 本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形以及相似三角形解决问题，属于中考常考题型．