Question

2．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．
（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图1，Rt△ABC中，BC＜AC＜AB，∠C=90°，当△ABC是“好玩三角形”时，求BC：AC：A的值；
（3）如图2，所示直角坐标系中，A（-3，0），B（3，0），M（-5，0），点D是以点M为圆心4为半径的圆上除x轴外的任意一点，且D为AC中点．求证：△ABC是好玩三角形；
（4）如图3，已知正方形ABCD的边长为a，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB-BC和AD-DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．若△APQ是“好玩三角形”，试求$\frac{a}{s}$的值．

Answer 1

分析 （1）先画一条线段AB，再确定AB的中点O，以点O为圆心，AB为半径画圆，在圆O上取一点C，连接AC、BC，则△ABC是所求作的三角形；
（2）设AC=2x=BD，则AD=CD=x，从而表示出BC=$\sqrt{3}$x，利用勾股定理得AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{7}$x，从而求得三条线段的比；
（3）利用两边对应成比例且夹角相等证得△AMD∽△DMB后得到BD=2AD=AC，从而说明三角形ABC是好玩三角形；
（4）当点P在AB上时，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，然后分等腰三角形APQ底边PQ等于AE，即PQ=AE时和等腰三角形APQ的腰AP与它的中线QM相等两种情况求得结论即可．

解答 解：（1）如图，①作一条线段AB，
②作线段AB的中点O，
③以点O为圆心，AB为半径画圆，
④在圆O上取一点C，连接AC、BC，
∴△ABC是所求作的三角形（点E、F除外）．

（2）如图1，由题意可得，只能是AC边上的中线BD等于AC，
设AC=2x=BD，则AD=CD=x，
所以，BC=$\sqrt{3}$x，则AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{7}$x，
所以，BC：AC：AB=$\sqrt{3}$：2：$\sqrt{7}$；

（3）如图2，三角形AMD中，
AM=2，MD=4，
三角形MBD中，MD=4，MB=8，
又∵∠DMA=∠BMD，
∴△AMD∽△DMB，
∴BD=2AD=AC，
∴三角形ABC是好玩三角形；

（4）当点P在AB上时，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”
当P在BC上时，连接AC交PQ于点E，
则△PCQ、△PCE、△QCE都是等腰直角三角形，
①如图3若等腰三角形APQ底边PQ等于AE，即PQ=AE时，
设PE=QE=x，
则AE=2x，
∴AC=AE+CE=3x，
a=$\frac{3x}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$x，s=AB+BP=a+a-PC=2×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$x-$\sqrt{2}$x=2$\sqrt{2}$x，
∴$\frac{a}{s}$=$\frac{3}{4}$；

②如图4，若等腰三角形APQ的腰AP与它的中线QM相等，
即AP=QM时，可得QM=AP=AQ，
作QN⊥AP于N，∴MN=AN=$\frac{1}{2}$PM，
设MN=x，则QN=$\sqrt{A{Q}^{2}-A{N}^{2}}$=$\sqrt{15}$x，
tan∠APQ=$\frac{QN}{PN}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，同时tan∠APQ=$\frac{AE}{PE}$，
∴$\frac{AE}{PE}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
∴AE=$\sqrt{15}$k，PE=CE=3k，
∴AC=AE+CE=（$\sqrt{15}$+3）k，
∴a=$\frac{AC}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{15}+3}{\sqrt{2}}$k，
∴PC=$\sqrt{2}$PE，
∴PB=a-PC=$\frac{\sqrt{15}+3}{\sqrt{2}}$k-3$\sqrt{2}$k=$\frac{\sqrt{30}-3\sqrt{2}}{2}$k，
∴s=a+PB=$\frac{\sqrt{30}+3\sqrt{2}}{2}$k+$\frac{\sqrt{30}-3\sqrt{2}}{2}$k=$\sqrt{30}$k，
∴$\frac{a}{s}$=$\frac{\sqrt{15}+3}{\sqrt{2}}$×$\frac{1}{\sqrt{30}}$=$\frac{5+\sqrt{15}}{10}$．

点评 本题是一道相似形综合运用的试题，考查了相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等腰直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，锐角三角形函数值的运用，解答时灵活运用三角函数值建立方程求解是解答的关键．