Question

已知a²=5，证明：a是无理数．

Answer 1

考点：反证法

专题：证明题

分析：首先假设a是有理数，并设a=

p

q

（p，q是正整数，且互为质数，即p，q的最大公约数是1），进而得出这样p，q有公因数5，从而得出矛盾，故原命题正确．

解答：证明：假设a是有理数，并设a=

p

q

（p，q是正整数，且互为质数，即p，q的最大公约数是1），
∵a的平方等于5，
∴（

p

q

）²=5，即p²=5q²，
∴p²含有因数5，设p=5n，
∴25n=5q²，即q²=5n²，
∴q²含有因数5，即q有因数5，
这样p，q有公因数5，
这与假设p，q的最大公约数是1相矛盾，a=

p

q

（p，q是正整数，且互为质数，即p，q的最大公约数是1）不成立，
故a不是有理数而是无理数．

点评：此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的步骤是解题关键．