等腰△ABC.AB=AC=8.∠BAC=120°.P为BC的中点.小明拿着含30°角的三角板.使30°的顶点落在点P.三角板绕P点旋转.如图1.当三角板的两边交AB.AC于点E.F时.易证△BPE∽△CFP, 当三角板绕P点旋转到图(2)情形时.三角板的两边分别交BA的延长线.边AC于点E.F．(1)△BPE与△CFP还相似吗?(2)连接EF.△BPE与△PEF是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小明拿着含30°角的三角板，使30°的顶点落在点P，三角板绕P点旋转，如图1，当三角板的两边交AB、AC于点E、F时，易证△BPE∽△CFP；当三角板绕P点旋转到图（2）情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．
（1）△BPE与△CFP还相似吗？（直接写结论）
（2）连接EF，△BPE与△PEF是否相似？说明理由；
（3）设EF=$\sqrt{3}$，试求△PEF的面积为S（直接写答案，不用写过程）

分析（1）找出△BPE与△CFP的对应角，其中∠BPE+∠CPF=150°，∠CPF+∠CFP=150°，得出∠BPE=∠CFP，从而解决问题；
（2）可通过对应边成比例证明；
（3）求出△BPE中BE上的高，求出△PEF中EF上的高，得出关系式代入即可．

解答（1）解：相似，理由如下：
∵在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=150°，
又∵∠EPF=30°，且∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，
∴∠BPE+∠CPF=150°，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）；
（2）△BPE与△PFE相似．
理由如下：
同（1），可证△BPE∽△CFP，得$\frac{CP}{BE}=\frac{PF}{PE}$，
∵CP=BP，
∴$\frac{BP}{PF}=\frac{BE}{PE}$，
又∵∠EBP=∠EPF，
∴△BPE∽△PFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）；
（3）由（2）得△BPE∽△PFE，所以∠BEP=∠PEF，
分别过点P作PM⊥BE，PN⊥EF，垂足分别为M、N，则PM=PN，如图：

连结AP，在Rt△ABP中，由∠B=30°，AB=8，可得AP=4，
∴PM=2$\sqrt{3}$，
∴PN=2$\sqrt{3}$，
∴s=$\frac{1}{2}$PN×EF=$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=3．

点评此题考查相似的综合题．关键是根据相似三角形的判定和性质解题，它以每位学生都有的30°三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力．

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	A．	对角线相等的四边形		B．	对角线互相平分的四边形
	C．	对角线互相垂直且相等的四边形		D．	对角线互相垂直的四边形

6．已知在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c．
（1）若∠A=60°，a+b=3+$\sqrt{3}$，求a、b、c及S_△ABC；
（2）若△ABC的周长为30，面积为30，求a、b、c．

3．化简：$\frac{{a}^{2}+3}{{a}^{2}-1}$-$\frac{a+1}{a-1}$+1．

1．