Question

17．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，$\widehat{BD}$=$\widehat{AD}$，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若CE=1，AC=4，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理，由$\widehat{BD}$=$\widehat{AD}$得到∠BAD=∠ACD，再根据圆内接四边形的性质得∠DCE=∠BAD，所以∠ACD=∠DCE；
（2）连结OD，如图，利用内错角相等证明OD∥BC，而DE⊥BC，则OD⊥DE，于是根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线；
（3）作OH⊥BC于H，易得四边形ODEH为矩形，所以OD=EH=2，则CH=HE-CE=1，于是有∠HOC=30°，得到∠COD=60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S_扇形OCD-S_△OCD进行计算．

解答 （1）证明：∵$\widehat{BD}$=$\widehat{AD}$，
∴∠BAD=∠ACD，
∵∠DCE=∠BAD，
∴∠ACD=∠DCE，
即CD平分∠ACE；
（2）解：直线ED与⊙O相切．理由如下：
连结OD，如图，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
而∠OCD=∠DCE，
∴∠DCE=∠ODC，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（3）解：作OH⊥BC于H，则四边形ODEH为矩形，
∴OD=EH，
∵CE=1，AC=4，
∴OC=OD=2，
∴CH=HE-CE=2-1=1，
在Rt△OHC中，∠HOC=30°，
∴∠COD=60°，
∴阴影部分的面积=S_扇形OCD-S_△OCD
=$\frac{60•π•{2}^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$•2²
=$\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形的计算．