题目内容

如图，△AOB的顶点A、B在二次函数 $数学公式$ 的图象上，又点A、B分别在y轴和x轴上，tan∠ABO=1．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）过点A作AC∥BO交上述函数图象于点C，点P在上述函数图象上，当△POC与△ABO相似时，求点P的坐标．

解：（1）∵点A在二次函数 $\text{[math]}$ 的图象上， $\text{[math]}$ …
在Rt△AOB中，∠AOB=90°
∵ $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ …
∵点B在二次函数 $\text{[math]}$ 的图象上
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ …
∴ $\text{[math]}$ …

（2）∵AC∥BO交上述函数图象于点C，

∴设 $\text{[math]}$ …
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ …
∴ $\text{[math]}$ ，
根据勾股定理得： $\text{[math]}$ ，
设抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴的另一交点为D，
可得，D（3，0）…
∴根据两点间的距离公式得： $\text{[math]}$ ，又OD=3，OC= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴OC²+CD²=OD²，∴∠OCD=90°…
易得，Rt△OCA∽Rt△ABO，Rt△ODC∽Rt△ABO…
此时D，P重合，A与P重合，
∴ $\text{[math]}$ 或P（3，0）…．
分析：（1）首先根据函数解析式求出A的坐标，然后得到AO的长度，接着利用三角函数的定义求出BO的长度，也就得到B的坐标，最后代入解析式即可求出函数的解析式；
（2））首先由AC∥BO交上述函数图象于点C可以求出C的坐标，接着得到AC、AO、OC的长度，由此也可以求出b的值，根据抛物线的对称性可以求出抛物线与x轴的另一交点为D的坐标，从而得到CD的长度，接着利用勾股定理的逆定理证明∠OCD=90°，易得Rt△OCA∽Rt△ABO，Rt△ODC∽Rt△ABO，求出P的坐标．
点评：此题是二次函数的综合题，分别考查了待定系数法确定函数解析式、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，对于学生综合分析问题的能力要求比较高，平时要加强训练．