Question

10．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，F是AD的一个三等分点，设BC的延长线与FE的延长线相交于G．问BF是否平分∠AFG？请说明理由．

Answer 1

分析 结论：BF平分∠AFG作FH⊥BC于H，则四边形CDFH是矩形，HF=CD，DF=CH，设正方形的边长为6a．通过计算证明GF=GB即可解决问题．

解答 解：结论：BF平分∠AFG．
理由：如图，作FH⊥BC于H，则四边形CDFH是矩形，HF=CD，DF=CH，设正方形的边长为6a．

∵F是AD的一个三等分点，
∴AF=2a，DF=HC=4a，FH=CD=6a，
在△DFE和△CGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠GCE}\\{DE=EC}\\{∠DEF=∠CEG}\end{array}\right.$，
∴△DFE≌△CGE，
∴CG=DF=4a，
∴GH=8a，
在Rt△FHG中，FG=$\sqrt{F{H}^{2}+G{H}^{2}}$=$\sqrt{（6a）^{2}+（8a）^{2}}$=10a，
∵BG=10a，
∴GF=GB=10a，
∴∠GFB=∠GBF，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠GBF，
∴∠BFA=∠BFG，
∴BF平分∠AFG．

点评 本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，本题体现了数形结合的思想，属于中考常考题型．