Question

17．根据题意，解答下列问题：

（1）如图①，已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长；
（2）如图②，类比（1）的求解过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出两点M（3，4），N（-2，-1）之间的距离；
（3）如图③，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是平面直角坐标系内的两点，请你利用图③构造直角三角形，并直接写出P₁P₂的长度（用含有x₁，x₂，y₁，y₂的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）先令x=0和y=0分别求点B和A的坐标，表示OA和OB的长，利用勾股定理计算AB的长；
（2）作辅助线，构建直角三角形MNP，根据利用勾股定理计算MN的长；
（3）同理，构建Rt△P₁P₂P，根据利用勾股定理计算P₁P₂的长；

解答 解：（1）如图①，由y=0得，2x+4=0，
x=-2，
∴A（-2，0），
∴OA=2，
当x=0时，y=4，
∴B（0，4），
∴OB=4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
（2）如图②，过M作MP⊥x轴，过N作NP⊥y轴，MP和NP交于P，则MP⊥NP，
∵M（3，4），N（-2，-1），
∴P（3，-1），
∴MP=4-（-1）=5，NP=3-（-2）=5，
在Rt△MNP中，由勾股定理得：MN=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$；
（3）如图③，过P₂作P₂P⊥x轴，过P₁作P₁P⊥y轴，P₁P和P₂P交于P，则P₁P⊥P₂P，
∵P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
∴P（x₂{x₂，y₁），
∴P₁P=x₂-x₁，P₂P=y₂-y₁，
在Rt△P₁P₂P中，由勾股定理得：P₁P₂=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了两点距离公式的推导，还考查了直线与两坐标轴的交点问题、勾股定理、坐标与图形特点，作辅助线，构建直角三角形，并熟练掌握勾股定理是关键．