Question

19．如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成6部分，部分①是整体面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推．
（1）图中阴影部分的面积是$\frac{1}{32}$；
（2）写出$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$的结果；
（3）计算$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{6}}$+$\frac{1}{{2}^{7}}$．

Answer 1

分析 （1）阴影部分的面积等于部分⑤的面积；
（2）用整个正方形的面积减去阴影部分的面积即可确定答案；
（3）将原式变形为（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{6}}$+$\frac{1}{{2}^{7}}$）×2×$\frac{1}{2}$=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{6}}$）×$\frac{1}{2}$，利用（2）中结论求解可得．

解答 解：（1）∵部分①是整体面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，…，
∴图中阴影部分的面积是部分④的一半，即$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{32}$，
故答案为：$\frac{1}{32}$；

（2）$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$；

（3）$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{6}}$+$\frac{1}{{2}^{7}}$=（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{6}}$+$\frac{1}{{2}^{7}}$）×2×$\frac{1}{2}$
=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{6}}$）×$\frac{1}{2}$
=（1-$\frac{1}{{2}^{6}}$）×$\frac{1}{2}$
=$\frac{63}{64}$×$\frac{1}{2}$
=$\frac{63}{128}$．

点评 本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形面积间的关系并发现图形变化的规律．