Question

5．如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠C＜90°．点E、F分别是BC、CD上的动点，满足：△AEF的周长最小．
（1）请在图中作出E、F（要求保留痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若∠C=45°，且∠AEB=60°，请求$\frac{AF}{AE}$的值．

Answer 1

分析 （1）延长AB到A'，使BA'=AB，则A'就是A关于BC的对称点，同法可以作出A关于CD的对称点A''，连接A'A''与CD和BC的交点就是E和F；
（2）根据对称的性质可得△AEA₁和△AA₂F是等腰三角形，证得△AEF是直角三角形，利用三角形的性质求解．

解答 解：（1）如图所示．
；
（2）在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠C=45°．
∴∠BAD=135°．
∵∠AEB=60°．
∴∠A₁=∠BAE=30°．
在△A₁AA₂中，由内角和定理得：∠A₂=15°，∠A₂AE=105°．
∴∠EAF=90°且∠AFE=30°．
∴在Rt△AEF中，EF=2AE．
∴$\frac{AF}{AE}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了轴对称的性质以及作图，正确证明△AEF是直角三角形是关键．