Question

12．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交AC于E，BF平分∠ABC交AC于F，试问四边形BEDF是什么四边形，请证明你的结论．

Answer 1

分析 首先由在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交AC于E，BF平分∠ABC交AC于F，证得△ABF≌△CDE（ASA），即可证得BF=DE，BF∥DE，则可证得结论．

解答 解：四边形BEDF是平行四边形．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，AB∥CD，
∴∠BAF=∠DCE，
∵DE平分∠ADC交AC于E，BF平分∠ABC交AC于F，
∴∠ABF=∠CDE=45°，
在△ABF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠DCE}\\{AB=CD}\\{∠ABF=∠CDE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDE（ASA），
∴BF=DE，
∵∠BFE=∠ABF+∠BAF，∠DEF=∠DCE+∠CDE，
∴∠BFE=∠DEF，
∴BF∥DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．

点评 此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意证得△ABF≌△CDE是解此题的关键．