Question

11．如图1．抛物线y=x²+1的顶点为M，点A为第二象限内的抛物线上的一动点，延长AM交x轴于点C（t，0）
（1）当t=2时，求点A的坐标：
（2）过点C作BC∥y轴，交抛物线于点B，连接BM．
①求证：BM⊥AC；
②如图2，AB与y轴交于点F，连接CF，当CF∥AO时．求AC的长．

Answer 1

分析 （1）先确定M（0，1），再利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1，然后解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+1}\\{y=-\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$得A点坐标；
（2）①如图1，B（t，t²+1），利用两点间的距离公式得到CM²=1+t²，BM²=t²+t⁴，BC²=t⁴+2t²+1，然后根据勾股定理的逆定理证明△BCM为直角三角形，从而得到BM⊥CM；
②如图2，先利用待定系数法确定直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{t}$x+1，再解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{t}x+1}\\{y={x}^{2}+1}\end{array}\right.$得A（-$\frac{1}{t}$，$\frac{1}{{t}^{2}}$+1），再利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=（t-$\frac{1}{t}$）x+2，则F（0，2），所以OM=FM，接着证明四边形AOCF为平行四边形得到AB∥x轴，求出此时A点和B点坐标，然后利用两点间的距离公式计算AC的长．

解答 （1）解：当t=2时，C点坐标为（2，0），
∵抛物线y=x²+1的顶点为M，
∴M（0，1），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把M（0，1），C（2，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+1}\\{y=-\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴A点坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）；
（2）①证明：如图1，
∵CB⊥x轴，
而C（t，0），
∴B（t，t²+1），
∵CM²=1+t²，BM²=t²+（t²+1-1）²=t²+t⁴，BC²=（t²+1）²=t⁴+2t²+1，
∴CM²+BM²=BC²，
∴△BCM为直角三角形，
∴∠BMC=90°，
∴BM⊥CM；
②解：如图2，设直线AC的解析式为y=mx+n，
把M（0，1），C（t，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{tm+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{t}}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{t}$x+1，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{t}x+1}\\{y={x}^{2}+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{t}}\\{y=\frac{1}{{t}^{2}}+1}\end{array}\right.$，则A（-$\frac{1}{t}$，$\frac{1}{{t}^{2}}$+1），
设直线AB的解析式为y=px+q，
把A（-$\frac{1}{t}$，$\frac{1}{{t}^{2}}$+1），B（t，t²+1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{t}•p+q=\frac{1}{{t}^{2}}+1}\\{t•p+q={t}^{2}+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=t-\frac{1}{t}}\\{q=2}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=（t-$\frac{1}{t}$）x+2，
当x=0时，y=（t-$\frac{1}{t}$）x+2=2，则F（0，2），
∴OM=FM，
∵OA∥CF，
∴△OMA∽△FMC，
∴$\frac{OA}{CF}$=$\frac{OM}{FM}$=1，
∴OA=CF，
∴四边形AOCF为平行四边形，
∴AB∥x轴，
当y=2时，x²+1=2，解得x₁=1，x₂=-1，此时A（-1，2），B（1，2），
∴C（1，0），
∴AC=$\sqrt{（-1-1）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的判定与性质；会应用待定系数法求一次函数的解析式，通过解方程组求两函数的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理证明直角三角形，用两点间的距离公式计算线段的长．