Question

12．如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S₁；取BE中点E₁，作E₁D₁∥FB，E₁F₁∥EF，得到四边形E₁D₁FF₁，它的面积记作S₂；…；照此规律作下去，则S₅为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{8}$×（$\frac{1}{4}$）⁴
• B． $\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\frac{1}{4}$）⁴
• C． $\frac{\sqrt{3}}{8}$×（$\frac{1}{4}$）⁵
• D． $\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\frac{1}{4}$）⁵

Answer 1

分析 先根据△ABC是等边三角形可求出△ABC的高，再根据三角形中位线定理可求出S₁的值，进而可得出S₂的值，找出规律即可得出S₅的值．

解答 解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴△ABC的高=AB•sin∠A=1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵DE、EF是△ABC的中位线，
∴AF=$\frac{1}{2}$，
∴S₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$；
同理可得，S₂=$\frac{\sqrt{3}}{8}$×$\frac{1}{4}$；
…
∴S_n=$\frac{\sqrt{3}}{8}$（$\frac{1}{4}$）^n-1；
∴S₅=$\frac{\sqrt{3}}{8}$×（$\frac{1}{4}$）⁴．
故选A．

点评 本题考查的是相似多边形的性质，涉及到等边三角形的性质、锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及三角形中位线定理，熟知以上知识是解答此题的关键．