Question

已知四边形ABCD，E是CD上的一点，连接AE、BE．
（1）给出四个条件：①AE平分∠BAD，②BE平分∠ABC，③AE⊥EB，④AB=AD+BC．请你以其中三个作为命题的条件，写出一个能推出AD∥BC的正确命题，并加以证明；
（2）请你判断命题“AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，E是CD的中点，则AD∥BC”是否正确，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,命题与定理

专题：

分析：（1）根据①②④能推出AD∥BC，在AB上取点M，使AM=AD，连结EM，证△AME≌△ADE和△BME≌△BCE，求出∠D=∠AME，∠C=∠BME，推出∠D+∠C=180°，根据平行线的判定得出即可；
（2）举出反例图形，根据反例得出即可．

解答：解：（1）如：①②④推出AD∥BC，

证明：在AB上取点M，使AM=AD，连结EM，
∵AE平分∠BAD，
∴∠MAE=∠DAE，
在△AEM和△AED中，

AM=AD ∠MAE=∠DAE AE=AE

∴△AEM≌△AED（SAS），
∴∠D=∠AME，
又∵AB=AD+BC，
∴MB=BC，
在△BEM和△BCE中，

BM=BC ∠MBE=∠CBE BE=BE

，
∴△BEM≌△BCE（SAS），
∴∠C=∠BME，
∴∠D+∠C=∠AME+∠BME=180°，
∴AD∥BC；

（2）不正确     
理由是：作等边三角形ABM，

∵AE平分∠BAM，BE平分∠ABM且AE、BE交于E，连结EM，
则EM⊥AB，过E作ED∥AB交AM于D，交BM与C，
则E是CD的中点而AD和BC相交于点M，
∴命题“AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，E是CD的中点，则AD∥BC”是不正确的．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．