Question

11．已知关于x的一元二次方程2x²+2$\sqrt{2}$x+m=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果这个方程的两个根为x₁、x₂，且$\frac{1}{x_1}$+$\frac{1}{x_2}$=$\sqrt{2}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由根的判别式可得；
（2）根据韦达定理可得x₁+x₂=$\sqrt{2}$，x₁x₂=$\frac{m}{2}$，将其代入到$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$，解之可得．

解答 解：（1）∵方程2x²+2$\sqrt{2}$．x+m=0有实数根，
∴（2$\sqrt{2}$）²-4×2×m≥0，
解得：m≤1；

（2）∵x₁+x₂=-$\sqrt{2}$，x₁x₂=$\frac{m}{2}$，
∴由$\frac{1}{x_1}$+$\frac{1}{x_2}$=$\sqrt{2}$可得：$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-\sqrt{2}}{\frac{m}{2}}=\sqrt{2}$，
解得：m=-2．

点评 本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，根据题意列出相应不等式或方程是解题的关键．