Question

4．如图，在?ABCD中，O为AC的中点，过点O作EF⊥AC与边AD、BC分别相交于点E、F，求证：四边形AECF是菱形．

Answer 1

分析 先判定△AOE≌△COF，得到AE=CF，再根据AE∥CF，即可得到四边形AECF是平行四边形，最后根据EF与AC垂直，得到四边形AECF是菱形．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴AE∥CF，
∴∠OAE=∠OCF，
∵点O是AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠COF}\\{OA=OC}\\{∠OAE=∠OCF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF与AC垂直，
∴四边形AECF是菱形．

点评 考查平行四边形、菱形的判定，解题时注意：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．