Question

14．如图，BC是O的直径，A是BC延长线上一点，AE、BE分别与⊙O相切于点D、B，连接BD，CD，EO．
（1）求证：DC∥EO；
（2）若$AD=6\sqrt{2}$，AC=6，求△BCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由切线长定理得到ED=EB，又OB=OD，根据等腰三角形的性质得到EO⊥BD，由BC是O的直径，得到DC⊥BD，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）根据切割线定理得到AD²=AC•AB，求得AB=12，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AE、BE分别与⊙O相切于点D、B，
∴ED=EB，
∵OB=OD，
∴EO⊥BD，
∵BC是O的直径，
∴DC⊥BD，
∴DC∥EO；

（2）解：∵AE是⊙O的切线，
∴（AD）²=AC•AB，∴$（6\sqrt{2}）^{2}$=6AB，
∴AB=12，∴BC=6，
∴BO=CO=3，
∴S_△BCD=$\frac{2}{3}$S_△AOD=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×3×6$\sqrt{2}$=6$\sqrt{2}$，
即△BCD的面积=6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的性质，平行线的判定，三角形的面积的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键．